角与直角教学设计

时间：2024-10-05 04:54:18 教学设计我要投稿

角与直角教学设计

　　作为一位无私奉献的人民教师，就有可能用到教学设计，教学设计是根据课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划。那么应当如何写教学设计呢？下面是小编为大家收集的角与直角教学设计，仅供参考，希望能够帮助到大家。

角与直角教学设计

角与直角教学设计1

　　1教学目标

　　1．知识与技能：

　　（1）认清俯角、仰角；

　　（2）能把实际问题转化为数学问题，并灵活选用恰当的方法利用三角函数解决实际问题；

　　2．过程与方法：经历探索实际问题的求解过程和对已有例题进行变式训练，进一步体会三角函数在解决实际问题中的作用；

　　3．情感态度与价值观：通过对问题情境的讨论，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想，培养学生一题多变的思维能力．

　　2学情分析

　　解直角三角形的应用是在学生熟练掌握了直角三角形的解法的基础上进行的教学，它是把一些实际问题转化为解直角三角形的数学问题，对分析问题能力要求较高，这会使学生学习感到困难，在教学中应分解难点，让学生先将实际问题中的图形和文字语言转化成数学符号语言，再利用学生所熟悉的解直角三角形的知识去解决问题。

　　3重点难点

　　教学重点：把实际问题转化为解直角三角形问题；教学难点：如何添作适当的辅助线，构造出直角三角形.

　　4教学过程4.1第一学时教学活动活动1【讲授】教学过程

　　一.回顾旧知

　　1.直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？

　　2.在中Rt△ABC中已知a= √3 ,c=2，求∠B应该用哪个关系？请计算出来。

　　二.讲授新课

　　1.研读课文

　　让学生阅读p75页例4.

　　热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B处的仰角为30，看这栋高楼底部C处的俯角为60，若热气球与高楼的水平距离为90m，则这栋高楼有多高？（结果保留根号）

　　教师活动：指导学生读题，介绍仰角与俯角的概念，要求学生代表分析解题，请一名同学上台解答。

　　学生活动：先自己积极思考并进行回答和交流，如果有困惑可以小组之间进行讨论和交流。

　　设计目的：给学生展现一个轻松活泼的问题情境，激发学生学习兴趣。师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力．

　　热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B处的仰角为30，看这栋高楼底部C处的俯角为60，若这栋高楼高160√3 m，则热气球与高楼的水平距离为多少m？（结果保留根号）

　　教师活动：引导学生作出辅助线，在例题解题过程中进行修改，得出此题的解题过程，并引导学生找出其它解法。

　　学生活动：让学生观察此题与例题的不同，进而得出解题方法。

　　设计目的：将例题中的结论与条件进行交换，培养学生的逆向思维。

　　热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B处的俯角为30，看这栋高楼底部C处的俯角为60，若这栋高楼高160√3 m，则热气球与高楼的水平距离为多少m？（结果保留根号）

　　教师活动：引导学生观察，让学生明白此题是在三角形外作高，作出辅助线，请两名同学上台解题并讲解，归纳出所有可能的解法。

　　学生活动：认真读题，发现题目条件与问题又发生怎样的'变化，通过讨论得出此题的解题方法并写出解题过程。

　　设计目的：在变式1的基础上改变题目情境，培养学生的发散思维和一题多解的能力。

　　三.巩固练习

　　（20xx年广东中考）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°,然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）。请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果保留根号）。

　　教师活动：让学生独立完成，并对有困难的同学给予帮助，给出问题的答案。

　　学生活动：按要求独立完成。

　　设计目的：检验学生本节课的学习效果。

　　四.归纳小结

　　结合图形，谈谈通过这堂课的学习你有什么收获?知道了哪些新知识？学会了做什么？

　　教师活动：教师提问并就学生的回答作出补充。

　　学生活动：思考并回答老师的问题。

　　设计目的:学会归纳总结.通过独立思考,自我评价学习效果,发现问题、解决问题养成良好的学习习惯。这样有利于强化学生对知识的理解和记忆，提高小结能力。

　　五.课后作业

　　P76页练习1；p78习题28.2第3题．

　　设计目的：让学生进一步巩固本节课的内容。

　　六.课后反思

　　本节课采用变式思维教学法进行教学，充分发挥学生的主体作用。在课堂上，鼓励学生经历观察、操作、推理、想象等活动，培养学生有条理的思考、表达和交流的能力，尽量让学生多动口动手，在解题演算中的过程中掌握知识，发现问题。让学生进行小组合作学习，在合作操作的过程中潜移默化地渗透一题多变，一题多解的数学思想方法，遵循“教是为了不教”的原则，让学生自得知识、自寻方法、自觅规律、自悟原理。同时，通过范例和练习培养提高学生解答几何问题的书写格式和应用能力，达到了预期的教学效果。

角与直角教学设计2

　　一、设计思想

　　根据学生认知特点和规律，在本节课的设计中，我活用教材，利用"观看乒乓球赛"这一情境为线索，对教材进行了灵活的处理，重新组合了教材，将各部分知识有机的渗透在球赛中。并着眼于学生的发展，注重发挥多媒体教学的作用，通过课件演示、动手操作、游戏活动等方式组织教学。

　　二、教材分析

　　排列与组合的思想方法不仅应用广泛，而且是后面学习概率统计知识的基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。《标准》中指出：在解决问题的过程中，使学生能进行简单的、有条理的思考。本套实验教材试图在渗透数学思想方法方面做一些努力和探索，把重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来，并运用操作、实验、猜测等直观手段解决这些问题。重在向学生渗透这些数学思想方法，并初步培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识。本节课的教学内容是人教版义务教育小学数学第三册第99页和练习二十三的第1、2题有关排列与组合知识，例1属于排列知识，要让学生体会不重复不遗漏的排列方法，"做一做"属于组合知识，要让学生明白选定的一组事物与顺序无关。练习中的题目属于组合知识。

　　三、学情分析

　　本班学生思维比较活跃，遇到问题反映敏捷，但缺乏成熟的思考。大部分的学生已经能够进行简单的排列组合，能解决一些简单的排列组合的实际问题，但他们是想到怎么排就怎么排，还处于一种无序思考的状态。但只要教师稍加引导，学生就能在活动中体会有顺序地排列组合的好处，掌握排列组合的方法。

　　四、教学目标

　　1、知识技能：在尝试用3个一位数组成不同的两位数和3个人的打球活动中体验最简单的排一排、组一组，掌握排列组合的方法。

　　2、数学思考：引导学生经历探索、发现、交流等活动过程，培养学生初步的观察、分析及推理能力。

　　3、问题解决：引导学生从数学的角度认识世界、解释生活，并在这一过程中初步培养学生有顺序的、全面的思考问题的意识和数学交流能力，逐步形成"数学的思维"的习惯。

　　4、情感态度：在数学活动中养成与人合作的良好习惯，初步学会表达解决问题的大致过程和结果，初步体会排列组合的实际应用价值。

　　五、重点难点

　　教学重点：了解简单的排列组合知识，能应用排列组合的知识解决实际生活中的问题。

　　教学难点：怎样有规律地按一定的顺序进行排列组合以及对"例1"和"做一做"中握手次数的区别。

　　教学关键：注重学生的实践活动，充分运用教学资源感知新知，应用新知。

　　六、教学策略与手段

　　关注师生合作，促进交流，以小组合作的形式贯穿全课，充分应用分组合作、共同探究的学习模式，在教学中鼓励学生与同伴交流，引导学生展开讨论，使学生在合作中学会知识，并使用多媒体课件，让学生体验学习的乐趣，并活跃思维。

　　七、课前准备

　　1、学生的学习准备：3张数字卡片、合作学习卡、小衣服图片

　　2、教师的教学准备：多媒体课件、若干张数字卡片

　　八、教学过程

　　（一）、赛前——复习导入

　　师：（点击课件：一座宏伟的体育馆，伴有打乒乓球的声音。）这儿正要进行乒乓球比赛，你们想进去看吗？（想）不过，得买门票，儿童票一张5角钱，你们带钱了吗？（略停1、2秒。）如果你能用这些纸币说出5角钱的一种付法，就可免费进去看球赛。（多媒体出示1角、2角、5角三种面值的人民币）。你们知道5角钱可以怎么付？

　　生汇报5角钱的付法。

　　师：真了不起！想出了这么多种方法，有重复或遗漏的吗？好，咱们进去。（点击多媒体课件：体育馆的大门徐徐打开，乒乓球声也由小渐大。）

　　（设计意图：5角钱怎样付？一年级时学生已经学习了这部分知识。课的开始，把教材的安排稍做改动，将"做一做"中的"买5角钱的拼音本"改为"一张门票5角钱"，利用已有的知识经验，让学生初步感知5角钱的几种不同组合方式。从学生最近发展区导入新课，有利于学生构建新知模型。）

　　（二）、赛中——探索新知

　　1、探讨排列。

　　（1）、编号码

　　a、师：运动员来了（点击课件：球声渐小，3个运动员走上前来）。参赛的每个运动员的都有自己的号码。可是这次号码很特别，要用（在黑板贴出）编出不同的两位数。请同学们帮忙，你们会吗？有没有方法。

　　生汇报，师板书。

　　b、师：才两个号码，可运动员有3个，号码不够（在黑板再贴出卡片）

　　现在就用三张数字卡片，还摆两位数，你们会吗？（略停1、2秒钟）这样，同桌两人，一人摆数字卡片，一人把摆好的数记录下来。先商量一下谁摆数字卡片，谁记数。然后拿出数字卡片和合作学习卡片，比比哪桌合作的又好又快。

　　C、生合作摆数。

　　（2）、说号码。

　　师：你们摆了几个两位数？哪几个？

　　生汇报，师相机板出6个不同的两位数。

　　（3）、找规律。

　　师：怎样摆才能把这6个不同的两位数不重复不遗漏的摆出来呢？小组讨论交流一下，看看哪组的方法最好？

　　生小组讨论。

　　（4）、汇报交流。（学生有可能出现以下几种排列方法：A、先用2张数字卡片摆出一个两位数，再交换它们的位置；B、分别把1、2、3这三个数字放在十位上，依次排列；C、从小到大排列……）

　　（5）、小结。

　　师：大家都采用各种方法摆出了6个不同的两位数。真了不起啊！今后我们只要运用规律就能把号码不重复不遗漏的摆出来。

　　（设计意图：例题的呈现由易到难，由浅入深，由2个数过渡到3个数的排列，给学生留有较大的探索交流空间，符合学生的认知规律。教法的设计由导到放，自主合作，体现新课程理念。）

　　2、观球赛，算场次，感知组合。

　　（1）、师；比赛开始了，瞧——（点击多媒体课件：演示两名运动员训练打球，一名运动员在旁观看，球声清脆，后声音渐小）如果他们每两个人打一场，那么三个人至少打几场？

　　（2）、汇报、解说。

　　（设计说明：利用具体情境中，激发兴趣，有助于学生对新知的探究。再借助数学画，直观形象的'掌握组合的知识。）

　　3、巧比较，深思辨，巩固新知。

　　师：3个数字卡片摆出了6个不同的两位数，而3个运动员每两个人打一场，只有打3场，这是怎么回事？

　　学生小组讨论，后汇报交流

　　（设计意图：这是本节课的重难点。引导学生对6个不同的两位数和3个场次，进行比较，引发学生争辩。让学生在比较中感受排列与组合的区别，在争辩中明白排列与顺序有关，组合与顺序无关。）

　　（三）、颁奖——应用拓展

　　1、巧配衣服，运用新知。

　　（1）、师：比赛继续进行着，这次活动得到新世纪儿童服装公司的赞助，每个参赛运动员都将获得一套服装，看——（师粘贴几种服装款式：红上衣、黄上衣、蓝裤子、黄裤子）这就是他们的服装款式，你们愿意为他们搭配一套服装吗？（愿意）先想想有几种搭配方式，再动手用学具摆一摆。

　　（2）、生动手搭配衣服。

　　（3）、汇报。（多媒体演示搭配方式）

　　2、握手问题，拓展延伸。

　　（1）、师：（多媒体课件演示：运动员穿上小朋友们搭配好的服装，在嘹亮的《运动员进行曲》歌声中登上了领奖台。校长向他们献上了鲜花，并握手向他们表示祝贺。3位运动员也互相握手表示祝贺。画面定格。）如果每两个人握一次手，那么4个人至少握几次？小组4个人试一试。

　　（2）、生小组握手。

　　（3）、生汇报表演。

　　生：每两个人握一次手，4个人至少握6次。

　　（生4人小组表演各种握手方法，师引导借助图式板演：

　　① ▲ ▲

　　② ▲ ▲ ▲

　　③ ▲ ▲ ▲ ▲

　　▲ ▲

　　（设计意图：多彩美丽的衣服学具可激发学生对新知进一步探究的欲望，小组四人握手活动，可激起学生的创新思维。这两个直观形象、生动具体的情境，可让学生在动手摆衣服、互相握手中亲身感受和体验排列组合知识。接着师在根据实际情况引导学生借助数学画来表示4人不同顺序的握手方法，由直观形象的物体过渡到图式的揭示，真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，同时也感受数学在生活中的重要性，培养学习数学的兴趣。）

　　（四）、赛后——总结揭题

　　师（多媒体课件演示：球赛结束，声音渐小，体育馆的大门徐徐关上。）今天，咱们在看球赛中学会了什么？说给大家听听。

　　师：是的，在一场球赛中咱们学到了这么多的知识，其实这仅仅是数学广角里的一小部分（点击：两扇大门幻化为二年级上册数学教科书《数学广角（排列组合）》内容，同时板题：《数学广角》），今后，只要我们认真观察生活，仔细动脑思考，一定能愉快地畅游在广阔的数学广角里。

　　（五）、机动练习

　　现在请表现最好的三个同学来合影，他们可以怎样排列呢？

　　九、板书设计

　　数学广角

角与直角教学设计3

　　（1）教学设计

　　一．教学目标

　　1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

　　2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

　　3.渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

　　二、教学重点、难点

　　1．重点：直角三角形的解法．

　　2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．

　　三、教学过程：

　　(一)复习引入

　　1．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？

　　(1)边角之间关系：sinA=cosB= sinB=cosA= tanA= tanB=

　　(2)三边之间关系 (勾股定理)

　　例 1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．

　　以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．

　　（二）教学过程

　　1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的'学习热情．

　　2．教师在学生思考后，继续引导"为什么两个已知元素中至少有一条边？"让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．

　　3．例题

　　例1：已知a、b、c为Rt△ABC的三边，且斜边c=30

　　a=15，解这个三角形．

　　解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．

　　解 ∵sinA=a/c= 1/2

　　∴ ∠a=30° ∴ ∠B=60°

　　∴根据勾股定理求出b=

　　例 2：在Rt△ABC中， ∠B =30°，b=20，解这个三角形．

　　引导学生思考分析完成后，让学生独立完成

　　在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书

　　完成之后引导学生小结"已知一边一角，如何解直角三角形？"

　　答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底

　　注意：例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理或其它三角函数来计算，但计算出的值可能有些少差异，这都是正常的。

　　4．巩固练习

　　（1）P74 练习（单班）

　　(2) P77习题1（双班）

　　说明：解直角三角形计算上比较繁锁，条件好的学校允许用计算器．但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形的整个过程．要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯．

　　(三)总结与扩展

　　1．请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．

　　2.教师点评.

　　四、布置作业

　　1 、P84习题1 、2.（单班）

　　2 、P78习题6（双班）

角与直角教学设计4

　　教学内容：

　　人教版实验教材数学教科书二年级上册第三单元40、41页的例3、例4。

　　教学目标：

　　1、让学生在动手操作中感知直角的特点，并能从生活中找到直角。

　　2、会用三角板判断直角和画直角。

　　3、培养学生动手实践操作能力和空间观念。教具、学具准备：直角三角板

　　教学过程：

　　一、铺垫引入

　　师：同学们，我们已经认识了角，那你能不能用自己的学具做一个活动角？(学生用活动角材料做一个角)师：把你们做的角展示给大家看一看，并说一说你制作的角是由哪几部分组成的？（展示学生做的不同大小的角）

　　师：角的大小是不一样的，我们班同学摆出的角就各不相同，像这种角（找出学生摆的直角或教师摆一个直角）你们以前在哪里见过吗？（学生回答后教师出示例3中的三个图），这种角在我们的教室里、家里的好多地方可以找到，在数学中，我们叫它“直角”这就是我们今天要学习的新内容。板书课题: 直角的初步认识

　　(设计意图：利用已学习的角的初步认识的知识，让学生做活动角，相关知识得到复习，从已认识的角逐步过渡到新内容，为学习直角做认知铺垫，接着让学生想哪里见过直角，让学生初步感知直角在生活中广泛应用。)

　　二、探究建模

　　1.抽象出直角

　　师：同学们，把你们的活动角都摆成直角（检查学生摆出的直角），再把数学课本封面的所有的角找出来，看一看，它们像吗？（让学生发现数学课本封面上的角，跟摆出的直角的形状、大小差不多）。

　　师“在数学课本封面上找到的角，跟同学们摆的直角是一样的，这些角都是直角。（教师画一个直角）我们可以用一种符号把它表示出来。（在刚画出的直角上标出直角符号。）

　　2、折直角

　　师：同学们已经认识了直角的`样子，那你能用一张纸把直角折出来吗？（指导学生看课本40页中折直角方法，再动手折一折）

　　3、找直角

　　师：同学们，老师刚才说直角在教室里的好多地方可以找到，现在请同学们在教室里找一找直角，看谁找到的直角最多。（先自己找，再汇报交流）

　　4、认识三角板中的直角和判断直角

　　师：同学们拿出准备好的三角板来，在三角板中有一个角是直角，你能把它找到吗？（教师巡视找三角板中的直角）用手摸一摸它的顶点和边（摸摸）。以后用三角板上的直角帮忙，你们找直角或判断是不是直角就没有问题了。现在老师教你们判断一下你们红领巾上的角和黑板的四个角是不是直角。判断的方法是: 先将顶点和顶点合在一起，再将三角板上的一条边跟角的一条边合在一起，看另一边是否合在一起,如果也合在一起，这个角就是直角；如果不合在一起，这个角就不是直角（教师边演示边说明，学生观察并操作）

　　4、画直角

　　师：我们刚才用纸折出了直角，也学会判断是不是直角，那能不能把直角画出来呢？自己学着课本41页上的方法试着学画一个直角好吗？（学生动手画直角，教师指导）

　　师：为了让别人知道我们画的是一个直角，通常我们不能忘记标上直角符号。（教师巡视）

　　（设计意图：从抽象出直角到折直角、找直角、认识三角板中的直角和判断直角、画直角一步一步让学生逐步认识直角，从而培养了学生的观察能力，动手操作能力。）

　　三、练习巩固

　　1、完成41页“做一做”

　　2、练习八第4题。

　　让学生独立用三角板上的直角来检查题里的角是不是直角。然后让学生回答。

　　3、让学生自己在带来的纸盒上找直角，看谁能找得又快又全。（正方体和长方体的盒子上各有24个直角。）这道题也可以作为一个数学游戏，分组进行比赛。（设计意图：在给出学生练习的四个题中，让学生从找直角到在方格中画直角，用三角板判断直角和在盒子上找多个直角来进一步加深对直角的认识，从而完成本节课的教学目标。）

　　四、回顾小结

　　师：我们学习的直角是一种特殊的角。它在我们日常生活中用处很多，在几何知识中也占很重要的地位。

角与直角教学设计5

　　教材与学情：

　　解直角三角形的应用是在学生熟练掌握了直角三角形的解法的基础上进行教学，它是把一些实际问题转化为解直角三角形的数学问题，对分析问题能力要求较高，这会使学生学习感到困难，在教学中应引起足够的重视。

　　信息论原理：

　　将直角三角形中边角关系作为已有信息，通过复习（输入），使学生更牢固地掌握（贮存）；再通过例题讲解，达到信息处理；通过总结归纳，使信息优化；通过变式练习，使信息强化并能灵活运用；通过布置作业，使信息得到反馈。

　　教学目标：

　　⒈认知目标：

　　⑴懂得常见名词（如仰角、俯角）的意义

　　⑵能正确理解题意，将实际问题转化为数学

　　⑶能利用已有知识，通过直接解三角形或列方程的方法解决一些实际问题。

　　⒉能力目标：培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生思维能力的灵活性。

　　⒊情感目标：使学生能理论联系实际，培养学生的对立统一的观点。

　　教学重点、难点：

　　重点：利用解直角三角形来解决一些实际问题

　　难点：正确理解题意，将实际问题转化为数学问题。

　　信息优化策略：

　　⑴在学生对实际问题的探究中，神经兴奋，思维活动始终处于积极状态

　　⑵在归纳、变换中激发学生思维的灵活性、敏捷性和创造性。

　　⑶重视学法指导，以加速教学效绩信息的.顺利体现。

　　教学媒体：

　　投影仪、教具（一个锐角三角形，可变换图2－图7）

　　高潮设计：

　　1、例1、例2图形基本相同，但解法不同；这是为什么？学生的思维处于积极探求状态中，从而激发学生学习的积极性和主动性

　　2、将一个锐角三角形纸片通过旋转、翻折等变换，使学生对问题本质有了更深的认识

　　教学过程：

　　一、复习引入，输入并贮存信息：

　　1.提问：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°。

　　⑴三边a、b、c有什么关系？

　　⑵两锐角∠A、∠B有怎样的关系？

　　⑶边与角之间有怎样的关系？

　　2.提问：解直角三角形应具备怎样的条件：

　　注：直角三角形的边角关系及解直角三角形的条件由投影给出，便于学生贮存信息

　　二、实例讲解，处理信息：

　　例1.（投影）在水平线上一点C，测得同顶的仰角为30°，向山沿直线前进20为到D处，再测山顶A的仰角为60°，求山高AB。

　　⑴引导学生将实际问题转化为数学问题。

　　⑵分析：求AB可以解Rt△ABD和

　　Rt△ABC，但两三角形中都不具备直接条件，但由于∠ADB＝2∠C，很容易发现AD＝CD＝20米，故可以解Rt△ABD，求得AB。

　　⑶解题过程，学生练习。

　　⑷思考：假如∠ADB＝45°，能否直接来解一个三角形呢？请看例2。

　　例2.（投影）在水平线上一点C，测得山顶A的仰角为30°，向山沿直线前进20米到D处，再测山顶A的仰角为45°，求山高AB。

　　分析：

　　⑴在Rt△ABC和Rt△ABD中，都没有两个已知元素，故不能直接解一个三角形来求出AB。

　　⑵考虑到AB是两直角三角形的直角边，而CD是两直角三角形的直角边，而CD均不是两个直角三角形的直角边，但CD＝BC＝BD，启以学生设AB＝X，通过列方程来解，然后板书解题过程。

　　解：设山高AB＝x米

　　在Rt△ADB中，∠B＝90°∠ADB＝45°

　　∵BD＝AB＝x（米）

　　在Rt△ABC中，tgC＝AB/BC

　　∴BC＝AB/tgC＝√3（米）

　　∵CD＝BC－BD

　　∴√3x－x＝20 解得 x＝（10√3＋10）米

　　答：山高AB是（10√3＋10）米

　　三、归纳总结，优化信息

　　例2的图开完全一样，如图，均已知∠1、∠2及CD，例1中 ∠2＝2∠1 求AB，则需解Rt△ABD例2中∠2≠2∠1求AB，则利用CD=BC-BD，列方程来解。

　　四、变式训练，强化信息

　　(投影)练习1：如图，山上有铁塔CD为m米，从地上一点测得塔顶C的仰角为∝，塔底D的仰角为β，求山高BD。

　　练习2：如图，海岸上有A、B两点相距120米，由A、B两点观测海上一保轮船C，得∠CAB＝60°∠CBA＝75°，求轮船C到海岸AB的距离。

　　练习3：在塔PQ的正西方向A点测得顶端P的

　　仰角为30°，在塔的正南方向B点处，测得顶端P的仰角为45°且AB＝60米，求塔高PQ。

　　教师待学生解题完毕后，进行讲评，并利用教具揭示各题实质：

　　⑴将基本图形4旋转90°，即得图5；将基本图形4中的Rt△ABD翻折180°，即可得图6；将基本图形4中Rt△ABD绕AB旋转90°，即可得图7的立体图形。

　　⑵引导学生归纳三个练习题的等量关系：

　　练习1的等量关系是AB＝AB；练习2的等量关系是AD＋BD＝AB；练习3的等量关系是AQ2＋BQ2＝AB2

　　五、作业布置，反馈信息

　　《几何》第三册P57第10题，P58第4题。

　　板书设计：

　　解直角三角形的应用

　　例1已知：………例2已知：………小结：………

　　求：………求：………

　　解：………解：………

　　练习1已知：………练习2已知：………练习3已知：………

　　求：………求：………求：………

　　解：………解：………解：………

角与直角教学设计6

　　教材说明

　　教材让学生观察实物，如红领巾、三角板、钟面、折扇等来认识角。用一张纸折成大小不同的角，再用两根硬纸条做成活动的角（能拉成大小不同的角）。最后抽象出角的图形。这里不给角下任何定义，只认识角的形状，知道角的边和顶点，会从给出的点画角。然后通过“做一做”进行一些巩固角的认识的练习。如通过第1题着重使学生分清哪些是角，哪些不是角。并注意出现不同的放置位置。

　　教学建议

　　1．这部分内容用1课时进行教学，完成练习十七。

　　2．教学角的认识时，先引导学生观察红领巾、三角板、钟面上的'时针与分针、折扇等实物图形，指出哪里是角。教师可以用两根硬纸条做一个活动角。把硬纸条拉成大小不同的角，边演示边说明，使学生对角的大小有一些直观认识。再让每个学生拿一张纸，仿照教科书上的图折出大小不同的角。在学生有了这些感性认识以后，教师再在黑板上画出角的图形，说明角的各部分名称。教师要画出大小不同的角（包括锐角、直角和钝角），让学生指出这些角的边和顶点。

　　3．指导学生做“做一做”中的题目，要使学生联系学过的知识进行判断。第1题，通过观察能正确区分题目里给出的图形哪些是角，哪些不是角。如第二个图，可以引导学生观察两条线相接的地方不是一个顶点，而是一段弯曲的线，所以不是角。

　　4．教学画角时，教师先说明画的方法，做出示范，再让学生画。要求学生认真、仔细地画，发现问题教师要及时指点。

　　5．关于练习十七中一些习题的教学建议

　　第2题，要使学生初步知道角的大小与画出的边的长短没有关系。

　　题中的两个角都是30°，要让学生用三角板中30°的角去比一比，确认两个角一样大。使学生初步认识到角的大小跟画出的边的长短是没有关系的。

　　第3题，可让学生在方格纸上，照着教科书上的样子画。

　　第4*题中，左图有3个角，中图有7个角，右图有8个角。做题时，要先让学生找，必要时教师可以指点。

　　练习十七最后的思考题的答案是：（3）个三角形，（3）个长方形。

　　（一）教学要求

　　1．初步认识角，知道角的各部分名称。初步学会用直尺画角。

　　2．初步认识直角，会用三角板判断直角和画直角。

　　（二）教材说明

　　本单元的内容是角和直角的初步认识。这些内容是在学生已经初步认识长方形、正方形和三角形的基础上教学的。教材从引导学生观察实物开始，逐步抽象出所学几何图形，再通过学生实际操作活动，如折叠、拼摆、测量、制作学具等，加深对所学几何图形的认识。

　　教材说明

　　教材通过引导学生观察手帕、练习本、黑板面上的角，说明这些角都是直角。再借助三角板来说明什么是直角。然后让学生通过折纸做直角，加深对直角的认识。再说明要知道一个角是不是直角，可以用三角板上的直角来比一比。最后让学生学会用三角板画直角。“做一做”中的习题，注意出变式图形，使学生能掌握直角的特征。

角与直角教学设计7

　　【探究目标】

　　1．目的与要求能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题．

　　2．知识与技能能根据直角三角形中的角角关系、边边关系、边角关系解直角三角形，能运用解直角三角形的知识解决有关的实际问题．

　　3．情感、态度与价值观通过解直角三角形的应用，培养学生学数学、用数学的意识和能力，激励学生多接触社会、了解生活并熟悉一些生产和生活中的实际事物．

　　【探究指导】

　　教学宫殿

　　在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．

　　解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图19—46：

　　角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B＝90°；

　　边边关系：勾股定理，即；

　　边角关系：锐角三角函数，即

　　解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：（1）已知两条边（一直角边和一斜边；两直角边）；（2）已知一条边和一个锐角（一直角边和一锐角；斜边和一锐角）．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．

　　用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：

　　把实际问题抽象成数学问题（解直角三角形），就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形（点、线、角等）以及图形之间的大小或位置关系．

　　借助生活常识以及课本中一些概念（如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等）的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．

　　当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．

　　在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，如没有特殊要求外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′．

　　例1 在△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形．

　　（1）c＝10，∠B＝45°，求a，b，∠A；

　　（2），求c，∠A，∠B

　　思路与技巧求解直角三角形的方法多种多样，如（1）可以先求a或b，也可以先求∠A，依据都是直角三角形中的各元素间的关系，但求解时为了使计算简便、准确，一般尽量选择正、余弦，尽量使用乘法，尽量选用含有已知量的关系式，尽量避免使用中间数据．

　　解答（1）∠A＝90°—45°＝45°

　　（2）

　　所以

　　例2 如图19—47，CD是Rt△ABC斜边上的高，，，求AC，AB，∠A，∠B（精确到1′）．

　　思路与技巧在Rt△ABC中，仅已知一条直角边BC的长，不能直接求解．注意到BC和CD在同一个Rt△BCD中，因此可先解这个直角三角形．

　　解答在Rt△BCD中

　　用计算器求得 ∠B＝54°44′

　　于是∠A＝90°—∠B＝35°16′

　　在Rt△ABC中，

　　例3 气象台测得台风中心在某港口A的正东方向400km处，正在向正西北方向转移，距台风中心300km的范围内将受其影响，问港口A是否会受到这次台风的影响？

　　思路与技巧如图19—48，就是要求出A到台风移动路线BC的距离是否大于300km，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，AB＝400km，是AC可求．

　　解答在Rt△ABC中，

　　由于

　　所以AC＝AB·sin∠ABC＝400×sin45°

　　所以港口A将受到这次台风的影响．

　　例4 如图19—49，两幢建筑物的水平距离为56．5m，从较高的建筑物的顶部看较低的建筑物的底部的俯角是42°，从较低的建筑物的顶部看较高建筑物顶部的仰角是22°，求这两幢建筑物的高度（精确到0．1m）．

　　思路与技巧如图19—49，AB、CD表示两幢建筑物，AB⊥BD，CD⊥BD，BD＝56．5m，根据俯角、仰角的意义，∠DAE＝42°，∠ACF＝22°，于是Rt△ABD、Rt△ACF都可解．

　　解答在Rt△ABD中，

　　∠ADB＝∠DAE＝42°

　　BD＝56。5（m）

　　AB＝BD·tan∠ADB

　　＝56。5×tan42°

　　≈50。9（m）

　　在Rt△ACF中，

　　AF＝CF·tan∠ACF

　　=56。5×tan22°

　　≈22。8（m）

　　所以CD＝AB—AF

　　＝28。1（m）

　　答：两幢建筑物的高度分别为50。9m，28。1m．

　　例5 如图19—50，沿水库拦水坝的背水坡，将坝顶加宽2m，坡度由原来的1：2改为1：2．5，已知坝高6m，坝长50m求：

　　（1）加宽部分横断面AFEB的面积；

　　（2）完成这一工程需要多少土方？

　　思路与技巧只须求出梯形AFEB的下底EB的长，作AG⊥BC，FH⊥EB，垂足分别为G、H，根据坡度的意义，可以求出坡AB、坡EF的水平长度．

　　解答（1）作AG⊥BC，FH⊥EB，垂足分别为G、H，由题意得

　　HG＝AF＝2（m）．AG＝FH＝6（m）

　　在Rt△ABG中，因为

　　所以BG＝2×6＝12（m）

　　在Rt△FEH中，因为

　　所以EH＝2．5×6＝15（m）

　　所以EB＝EH+HG—BG＝15+2—12＝5（m）

　　所以

　　答：加宽部分横断面AFEB的面积为，完成这一工程需要1050方土．

　　例6 海上有两条船，甲船在乙船的正南方向，甲船以每小时40海里的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿正东方向以每小时20海里的速度航行，问两船会不会相撞？为什么？

　　思路与技巧根据题意画出图形，如图19—51，可知甲、乙两船的'路线可能会成为直角三角形中60°所对的直角边和斜边，两船同时出发，在相同的时间内所走路程的比如果正好等于60°的正弦就会相撞，否则不会．

　　解答如图19—51，因为乙船的速度为每小时20海里，甲船的速度为每小时40海里，所以乙船与甲船所走路程的比为1：2．

　　又

　　所以不会发生相撞．

　　例7 某市为改变城市交通状况，在大街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB．在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3m远的D点测得树的顶部A点的仰角为60°，树的底部B的仰角为30°，如图19—52，问距离B点8m远的保护物是否在危险区内？

　　思路与技巧本题的实质是要计算大树的高度，如果大于8m，说明保护物在危险区内，否则不在．由于大树不在哪一个直角三角形中，根据条件，过C作CE⊥AB，则可把AB放在Rt△ACE和Rt△BCE中进行求解．

　　解答过C作CE⊥AB，垂足为E。

　　由题意可知，CE＝DB＝3m

　　在Rt△CEB中，

　　在Rt△ACE中，

　　所以AB＝AE+BE＝5。196+1。732＝6。928（m）＜8（m）

　　所以距离B点8m远的保护物不在危险区域内．

　　【探究活动】

　　提出问题运用解直角三角形的知识可以解斜三角形（锐角三角形或钝角三角形）吗？

　　探究准备锐角△ABC（已知b，a和∠C）．钝角△ABC（已知∠A，c，∠B）（∠A，∠B，∠C的对边为a，b，c）如图19—53．

　　探究过程直角三角形中的边边关系、角角关系、边角关系是解直角三角形的依据，它们只有在直角三角形中才成立，因此要想用它们来解斜三角形，必须把斜三角形转化为直角三角形，转化的方法一般是作高，如图19—53甲可以作AD⊥BC于D，这样构造了两个直

　　角三角形Rt△ABD和Rt△ACD，Rt△ACD中，CD＝cos∠C，AD＝sin∠C，因为BC＝a，所以BD＝—cos∠C，在Rt△ABD中，，得出∠B，进而求出∠A＝180°—∠B—∠C，

　　同样方法，图19—53乙中，可以过C作CD⊥AB于D，先解Rt△ACD．再解Rt△CDB．

　　探究评析 “化斜为直”是运用解直角三角形的知识解斜三角形的根本方法，其做法是通过作斜三角形的一条高，把斜三角形化为两个直角三角形，再根据条件分别在两个直角三角形中做文章．

　　例8 如图19—54，公路上A、B两处相距lkm，测得城镇C在A处的北偏东35°方向，在B处的北偏西40°方向．求城镇C到A处、B处的距离分别是多少？

　　思路与技巧弄清楚两个方向角是解决问题的第一步，根据题意∠1＝35°，∠2＝40°，AB＝lkm，发现△ABC不是直角三角形，故通过“化斜为直”转化，作CD⊥AB于D，如图19—55，则∠ACD＝∠l＝35°，∠BCD＝∠2＝40°，但是Rt△ACD与Rt△BCD都无法直接求解，因而可利用CD是这两个直角三角形的公共边以及AD+DB＝AB＝lkm的条件，设法列方程求解．

　　解答作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x

　　则在Rt△ACD中，

　　AD＝x·tan∠ACD＝x·tan35°

　　在Rt△CDB中，

　　BD＝x·tan∠BCD＝x·tan40°

　　因为AD+BD＝AB＝1

　　所以x（tan35°+tan40°）＝1

　　x＝1÷（tan35°+tan40°）≈0．6496（km）

　　于是

　　答：城镇C到A处的距离约是0．793km，到B处的距离约是0．848km．

角与直角教学设计8

　　教学内容

　　教材第40页

　　教材分析

　　从学生的生活实际出发，设计找直角——判断角——折直角——画直角四个环节，由易到难，通过学生自主学习、讨论，加深了学生对直角的认识。同时这几步，培养学生的空间观念，是一个纵向逐步加深的认识过程，可以使学生迅速准确地形成空间观念，为发展学生的空间想象力打下坚实的基础，从而切实有效地提高学生的数学思维能力，促进学生数学素养的.全面发展。

　　学情分析

　　直角在生活中无处不在，二年级学生虽然没有形成直角的概念，但能够初步辨认现实生活中很多的直角，对直角有一些朦胧的认识。

　　教学目标

　　1．结合生活情境及操作活动，使学生初步认识直角。

　　2．会用三角尺判断直角和画直角。

　　3．通过操作活动，帮助学生建立直角的空间观念。培养学生的实际操作能力和分析判断能力。

　　教学重难点

　　重点：直角的认识及角的小大的比较。

　　难点：正确画直角。

　　教学准备

　　课件、三角板

　　教学流程