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《分式方程》教学设计（精选10篇）
作为一位兢兢业业的人民教师，常常要根据教学需要编写教学设计，借助教学设计可以提高教学质量，收到预期的教学效果。那么问题来了，教学设计应该怎么写？以下是小编帮大家整理的《分式方程》教学设计（精选10篇），欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
《分式方程》教学设计 1
教材分析
本节内容是在学生掌握了一元一次方程的解法和分式四则运算的基础上进行的，为后面学习可化为一元一次方程的分式方程打下基础。通过经历实际问题→列分式方程→探究解分式方程的过程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，进一步发展学生分析问题和解决问题的能力，培养应用意识，渗透类比转化思想。
学情分析
《课标》指出：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。”从教师的教学角度上看：教师是进行数学活动的'组织者、引领者，是教学活动的主导；从学生的学习角度上看：数学活动是学生经历数学化过程的活动，是学生自己建构数学知识的活动，是学习活动的主体；从师生的合作角度上看：数学活动过程是教师和学生之间互动的过程，是师生共同发展的过程，即要促进学生发展，也要促进教师成长。教师作为教学主导，学生是主体作用
我们这学生基础知识较扎实，学生喜欢上数学课，学习数学的兴趣较浓，具有一定探索解决问题的能力，采用的学习方法：
1、类比学习的方法。通过与分数的乘除法运算类比得到分式方程的解法。
2、探究合作学习。学生互助下进行学习。
教学目标
知识技能：了解分式方程定义，理解解分式方程的一般解法和分式方程可能产生增根的原因，掌握解分式方程验根的方法。
过程方法：通过经历实际问题→列分式方程→探究解分式方程的过程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，发展学生分析问题解决问题的能力，培养应用意识，渗透转化思想。
情感态度：强化用数学的意识，增进同学之间的配合，体验在数学活动中运用知识解决问题的成就感，树立学好数学的自信心。
教学重点和难点
教学重点：解分式方程的基本思路和解法。
教学难点：理解分式方程可能产生增根的原因。
《分式方程》教学设计 2
一、教学内容分析：本节“分式方程”是人教版八年级下册第16章第3节的内容，是继一元一次方程，二元一次方程组之后，初中阶段所讲授的又能一种方程的解法。本节课是在继分式的内容及分式的四则混合运算之后所讲述的一个内容，其实际上就是分式与方程的综合。因此本节课可以看作是一个综合课，同时分式方程的解法也是初中阶段的一个重点内容，要求学生必须掌握。
二、学情分析：在学习本章之前，学生已经分两次学习过整式方程(一元一次方程、二元一次方程组)，他们对于整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路(使方程逐步化为x=a 的形式)已经比较熟悉，而分式方程的未知数在分母中，它的解法比以前学过的.方程复杂，需通过转化思想，化分式方程为整式方程。
三、教学目标：
1、明确什么是分式方程?会区分整式方程与分式方程。
2、会解可化为一元一次方程的分式方程。
3、知道分式方程产生增根的原因，并学会如何验根。
四、教学重点：分式方程的解法。
教学难点：理解分式方程可能产生增根的原因。
五、教学流程
1、忆一忆
(1)什么叫方程?什么叫方程的解?
(2)什么叫分式?
(3)结合具体例子说出解一元一次方程的步骤。
设计意图：让学生由旧知识的回忆自然引出新知识便于学生理解接受。
2x-(x-1)/3=6 3x/4+(2x+1)/3=0
2、猜一猜
板书课题“分式方程”，让学生猜一猜其概念，结合分式和方程的特点学生易得出：分母中含有未知数的方程叫分式方程。
设计意图：采用这种形式引入今天的话题，让学生觉得不是在上数学，而象是在拉家常，让学生没有负担，另外，学生在前面的回忆的基础上很容易猜出来分式方程的概念。这样使学生感受到数学的简单，从而树立学好数学的信心。
3、辨一辨
判断下列方程是不是分式方程，并说出为什么?
1/(x-2)=3/x x(x-1)/x=-1 (3-x)/=x/2
2x+(x-1)/5=10 3/x=2/(x-3) (2x+1)/x+3x=1
指出：分式方程与整式方程的区别(分母中含不含未知数)
设计意图：学生说出来了分式方程的概念还远远不够，通过这道题使学生更进一步的巩固分式方程的概念。 (x-1)/x=-1这个方程可能学生会有争议，让学生说出自己的意见后，老师可总结，在判断方是否为分式方程时，不能化简，以形式为准。
4、想一想
提出该如何解方程呢?让学生讨论后得出：
通过去分母，方程两边同乘以各分母的最简公分母，回忆最简公分母的定义。
设计意图：让学生自己去想该如何解，然后老师加以指导，这样会使学生感觉到自己真正是课堂的主人，从而全身心地投入学习。
5、试一试
(1)80/(x+5) (2)1/(x-5)=10/x.x-25
方程两边同乘以 x(x+5)得： 方程两边同乘以(x+5)(x-5)得：
80x=60(x+5) x+5=10
80x=60x+300 x=5
20x=300
x=15
提醒学生检验，对比两个方程发现问题。
设计意图：通过提醒学生检验，让学生自己发现问题。从而自然引出话题。
6、议一议
分式方程为什么会产生增根?(两边都乘以了一个零因式，但这个根是整式方程的解)所以分式方程的检验代入最简公分母即可，提出，分式方程能不检验吗?通过讨论使学生得出分式方程必须检验，因为分式方程的检验是为了看是不是增根，而不是检验对错，所以必须检验。
7、说一说
老师帮忙总结出解分式方程的一般步骤：
1、程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程。
2、解这个整式方程。
3、把整式方程的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使最简公分母为零的值是原方程的增根，必须舍去。
可简单记作：一化二解三检验。
设计意图：让学生对所学知识上升到一个理论高度。
8、做一做
解方程： (1)2/(x-3)=3/x (2)x/(x-1)-1=3/(x-1)(x+2)
体验解分式方程的完整过程。
《分式方程》教学设计 3
一、教材分析
本节课是分式方程的起始课，要求能从实际的生活情境中抽象出分式方程的概念。学生认知的基础是：已掌握简单的整式方程的解法(一元一次方程及二元一次方程组)，学习过分式的四则运算。分式方程概念的学习，为分式方程的解法及运用的学习做了极为必要的铺垫。
二、教学目标及重点、难点
三维教学目标：
1.知识目标：从实际情境中抽象出分式方程的概念;
2.能力目标：通过列分式方程培养学生分析问题、解决问题的能力;
3.情感目标：培养学生的社会责任感及应用数学的意识。
教学重点：列分式方程
教学难点：列分式方程。
三、教育理念及教法依据：
采用建构主义教学模式，运用成功教育及赏识教育理念设计教学。
四、教学程序
1.情境1.
(出示)有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg和15000kg。已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，分别求这两块试验田每公顷的.产量。
设计发问：(1)你能用自己的语言解释每一个数据的意义吗?
(2)你能尽可能从题目中找到等量关系吗?
答：①两块地的面积相等;
②第一块地的产量为9000kg;
③第二块地的产量为15000kg;
④第一块地的单位面积产量比第二块少3000kg;
(3)你还能找到哪些隐含的数量关系?
答：⑤总产量/总面积=单位面积产量
(4)如何选设未知数?(通常设直接未知数，如建立方程困难则选设间接未知数)
(5)哪些关系可以用来建立代数式?哪一个关系用来建立方程?
(6)如何建立方程?
解：设第一块试验田每公顷产量为xkg，则第二块试验田每公顷的产量是(x+300)kg. 由题意得9000/x=15000/(x+3000).
(教师板书等量关系及所列方程)
设计意图:(1)以问题串的形式形成师生之间的对话，推进学生的思维，突破学习的难点;
(2)呈现列方程的通用方法：分析数据——找等量关系——设未知数——建立相关的代数式——建立方程;
(3)如果学生的回答思维跳跃较大，教师采取追问的方式，将思维的关键步骤凸显出来，使基础薄弱的学生也能积极地跟进;
(4)提醒学生：
①通常设一个未知数至少需要建立一个方程，设两个未知数至少需要建立两个方程;
②等量关系或用来列代数式或用来建立方程，不能重复使用;
③学会用代数式思考问题;
④列方程的思想要“深入人心”。
2.情境2.
(出示)从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480 km的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半。求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。
组织教学：分成男生、女生两个阵营，就以上问题，一方同学依次发问，另一方依次应答。提问方围绕问题，想问什么就问什么，问清楚问透彻;应答方有问必答。
如，女生问：(1)请解释题中数据的意义?
(2)题中有哪些数量关系?
男生答：路程：普通公路全长600km,高速公路全长480km;
速度关系：客车在高速公路上的速度比在普通公路上快45km/h;
时间关系：走高速所用时间是走普通公路用时的一半。
行程问题中三个量之间的基本关系：速度×时间=路程路程/速度=时间 路程/时间=速度
女生问：如何设未知数?如何建立代数式?如何建立方程?
男生答：解：设客车由高速公路从甲地到乙地需要xh，则由普通公路从甲地到乙地需要2xh，根据题意，得600/x-480/2x=45.
女生追问：哪些数量关系被用来列代数式?哪些关系被用来建立方程?
男生答(略)
设计意图：(1)变“师生问答”为“男生、女生的问答”，将问题的分析解决变成一个双方斗智的游戏，一个模拟的思维游戏，易激发学生的学习兴趣;
(2)在问答中不同阵营的学生可以追加发问，可以补充回答，通过问题的解决既培养斗智斗勇的竞争意识，又培养团队合作精神;
(3)教师要做一个好的观察者，适当指导，保证学生思维是活跃的，思维方向是正确的;
(4)同时注意控制教学时间。
3.情境3.为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款，已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。求两次捐款人数各是多少。
组织教学：双方阵营互换角色
解：设第一次捐款人数为x人，则第二次捐款人数为(x+20)人，
由题意，得4800/x=5000/(x+20).
4. 形成概念
问(1)以上所列的方程有什么共同特点?
学生归纳形成概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
问(2)“分式方程”与“分式”有何不同?“分式方程”与“整式方程”有何不同?
(3)判断：下列关于x的方程，是分式方程的是?
a.(x-1)/3a=2x;b.(m+n)/x=2+(3+n)/x;c.(2+x)/5=3+(3+x/6;d.x/a-a/b=b/a-x/b.
设计意图：通过新旧概念的比较明确新概念，通过判断强化新概念。
5.(人人过关)
练习1.据联合国《20xx年世界投资报告》指出，中国20xx年吸收外国投资额达530亿美元，比上一年增加了13%。设20xx年我国吸收外国投资额为x亿美元，请你写出x满足的方程。你能写出几个方程?其中哪一个是分式方程?
教学设计：
(1)突破难点：百分数13%是“比谁增加了13%”
(2)每位学生至少列出三个方程;
(3)学生独立解题，教师板书学生的答案，供大家彼此借鉴，互相学习。
练习2.某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，6h完成了一半任务，后来机械装运和人工装运同时进行，1h完成了后一半任务。如果设单独采用机械装运xh可以完成后一半任务，那么x满足怎样的方程?
教学设计：
(1)本题是工程问题的情境;
(2)学生独立完成，互相交流答案，教师点评。
6.课堂小结：
(1)本节课你有什么收获?还有什么疑问吗?(小组交流，派代表发言)
(2)在双方问答的对决中，哪个阵营思维更活跃，更具合作意识，请表决，并为胜方热烈鼓掌。
《分式方程》教学设计 4
教学目标
(一)知识与技能
理解分式方程与整式方程的区别，并掌握解分式方程的一般步骤。
(二)过程与方法
通过具体例子,让学生独立探索方程的解法,经历和体会解分式方程的必要步骤，使学生进一步了解数学思想中的"转化"思想。
(三)情感、态度与价值观
培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯,培养严谨的治学态度。
教学重点：探索如何将分式方程转化为整式方程并掌握解分式方程的一般步骤
教学难点 ：探索分式方程产生增根的原因。
教学过程
一.创设情境，导入新课：
为帮助四川受灾的人们重建家园，某中学号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为2000元，第二次捐款总额为2150元，第二次捐款人数比第一次多15人，而且两次人均捐款额恰好相等。
根据以上信息你能分别求出两次捐款的人数吗?
若设第一次捐款人数为X人，第二次捐款人数为 ( ) 人。
根据相等关系列方程为( )。
这个方程的分母中含有未知数，与以前学过的方程不同，这就是我们这节课要学习的分式方程。(板书课题)
二.新课学习：
(一).分式方程的定义：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
以前学过的像一元一次方程、二元一次方程等这类分母中不含有未知数的方程叫整式方程
反馈练习
(二).探索分式方程的解法
1.回顾整式方程的解法
解方程(解上面练习中的第三题)
师生共同回顾：解整式方程的步骤
(1)去分母,(2)去括号, (3)移项, (4)合并同类项, (5)化未知x的系数为1
2.如何解分式方程呢?
(学生尝试完成，然后集体补充步骤)
解方程：20xx∕X=2150/X+15
解：方程两边同时乘以X(X+15)，得
20xx(X+15)=2150X
解这个整式方程，得
x=200
则200+15=215
检验：把x=200代入原方程，
因为左边=10 右边=10
所以左边=右边
所以x=200是原方程的解。
3.归纳解分式方程的步骤
一是去分母，二是解整式方程，三是检验
4.例题解方程：
(生独立完成，师指导)
分式方程的增根：不适合原方程的整式方程的根,叫原方程的'增根.
师：解分式方程必须进行检验!
[师]怎样检验较简单呢?还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗?
[生]最简单的检验方法是:把整式方程的根代入最简公分母.若使最简公分母为零,则是原方程的增根;若使最简公分母不为零,则是原方程的根.是增根,必舍去。
三.应用升华
四.小结
本节课我们学会了解分式方程,明白了解分式方程的三个步骤缺一不可，我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根。
五.布置作业：
本小节课时作业
教学反思
1. 解分式方程时，如果分母是多项式时，应先写出将分母进行因式分解的步骤来，从而让学生准确无误地找出最简公分母
2.对分式方程可能产生增根的原因，要启发学生认真思考和讨论。
《分式方程》教学设计 5
1教学目标
1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.
2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.
2学情分析
3重点难点
1．重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.
2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.
3．认知难点与突破方法
4教学过程
4.1第一学时评论(0) 新设计
一、解可化为一元一次方程的分式方程，也是以一元一次方程的解法为基础，只是需把分式方程化成整式方程，所以教学时应注意重新旧知识的联系与区别，注重渗透转化的思想，同时要适当复习一元一次方程的解法。至于解分式方程时产生增根的原因只让学生了解就可以了，重要的是应让学生掌握验根的方法.
二、要使学生掌握解分式方程的基本思路是将分式方程转化整式方程，具体的方法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母.
要让学生掌握解分式方程的一般步骤：
三、例、习题的意图分析
1．思考提出问题，引发学生的思考，从而引出解分式方程的解法以及产生增根的原因.
2．归纳明确地总结了解分式方程的基本思路和做法.
3．思考提出问题，为什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就是原方程的解，而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原方程的解，引出分析产生增根的原因，及归纳出检验增根的方法.
4．讨论提出归纳出检验增根的方法的理论根据是什么？
5． 教材习题第2题是含有字母系数的分式方程，对于学有余力的学生，教师可以点拨一下解题的思路与解数字系数的方程相似，只是在系数化1时，要考虑字母系数不为0,才能除以这个系数. 这种方程的解必须验根.
四、课堂引入
1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程
2．提出本章引言的问题：
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
分析：设江水的流速为v千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程.
像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.
五、例题讲解
例1.解方程
[分析]找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转化
为整式方程，整式方程的解必须验根.
这道题还有解法二：利用比例的性质“内项积等于外项积”，这样做也比较简便.
例2.解方程
[分析]找对最简公分母(x-1)(x+2),方程两边同乘(x-1)(x+2)时,学生容易把整数1漏乘最简公分母(x-1)(x+2)，整式方程的解必须验根.
六、随堂练习
（1）x=18（2）原方程无解（3）x=1（4）x=
七、课后练习
(1) x=3 (2) x=3（3）原方程无解（4）x=1 2. x=
八、答案：
x为何值时，代数式的值等于2？
九．教学反思
1、反思学情
学生是在前面学习分式的意义、分式的混合运算和熟练解一元一次方程的基础上学习本节内容的，同时八年级学生具有丰富的想象力、好奇心和好胜心理。容易开发他们的.主观能动性。但对于解分式方程过程中会出现增根，部分同学理解起来较为困难，因此在教学过程中应重点强调如何把分式方程转化为整式方程和解分式方程过程中产生增根的原因及如何验根。
2、反思学法
“授人以鱼，不如授人以渔”。本节课里我主要指导学生采用了自主探索、合作交流、自我反思的抽签讲课式学习方法，使学生积极主动地参与到教学过程，通过合作交流，激发学生的学习兴趣，体现探索的快乐，使学生的主体地位得到充分的发挥。
3、反思教法
常言道：教必有法，教无定法。 数学课程标准指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，而动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式。本着这一理念，我放手让学生大胆尝试，抽签讲课。在本课的教学过程中，我严格遵循由感性到理性，将数学知识始终与现实生活中学生熟悉的实际问题相结合，不断提高他们应用数学方法分析问题、解决问题的能力。在重视课本基础知识的基础上，适当进行拓展延伸，培养学生的创新意识，同时根据新课程标准的评价理念，在教学过程中，不仅注重学生的参与意识，而且注重学生对待学习的态度是否积极。
本节内容从实际问题出发引了出分式方程的概念，介绍分式方程的求解方法。再加上数学学科的特点，所以本节课充分利用“导学案”、采用了启发式、引导式教学方法。特别注重"精讲多练 "，真正体现以学生为主体。上新课时采用了启发、引导式的同时，针对学生的回答所出现的一些问题给出及时的纠正，在上课做练习时，除了让尽可能多的学生板演以外，自己还在下面及时的发现学生所出现的问题，比较典型的则全班讲评，个别小问题，个别解决。课堂中也尽量给学生更多的空间、更多展示自我的机会，让学生在和谐的氛围中认识自我、找到自信、体验成功的乐趣。使学生的主体地位得到充分的体现，使教学过程成为一个在发现在创造的认知过程。
《分式方程》教学设计 6
【知识拓展】
分 母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程组的基本思想是：化为整式方程．通常有两种做法：一是去分母；二是换元．
解分式方程一定要验根．
解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分．常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等．
列分式方程解应用题，关键是找到相等关系列出方程．如果方程中含有字母表示的已知数，需根据题竞变换条件，实现转化．设未知数而不求解是常见的技巧之一．
例题求解
一、分式方程(组)的解法举例
1．拆项重组解分式方程
【例1】解方程 ．
解析 直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子．考虑将每一项分拆：如 ，这样可降低计算难度．经检验 为原方程的解．
注 本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x．这样大大降低了运算量．本讲趣题引路中的问题也属于这种思路．
2．用换元法解分式方程
【例2】解方程 ．
解析 若考虑去分母，运算量过大；分拆也不行，但各分母都是二次三项式，试一试换元法．
解 令x2+ 2x―8=y，原方程可化为
解这个关于y的分式方程得y=9x或y=－5x．
故当y=9x时，x2+2x―8=9x，解得x1=8，x2=―1．
当y=－5x时，x2+2x―8=－5x，解得x3=―8，x4=1．
经检验，上述四解均为原方程的解．
注 当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化．
3．形如 结构的分式方程的解法
形如 的分式方程的解是： ， ．
【例3】解方程 ．
解析 方程左边两项的乘积为1，可考虑化为上述类型的问题求解．
， 均为原方程的解．
4．运用整体代换解分式方程组
【例4】解方程组 ．
解析 若用常规思路设法消元，难度极大．注意到每一方程左边分子均为单项式，为什么不试一试倒过来考虑呢?
解 显然x=y=z=0是该方程组的一组解．
若x、y、z均不为0，取倒数相加得x=y=z=
故原方程组的'解为x=y=z=0和x=y=z= ．
二、含字母系数分式方程根的讨论
【例5】解关于x的方程 ．
解析 去分母化简 为含字母系数的一次方程，须分类讨论．
讨论：（1）当a2－1≠0时
①当a≠0时，原方程解为x= ；
②当a=0时，此时 是增根．
(2) 当a2－1＝0时即a= ，此时方程的解为x≠ 的任意数；
综上，当a≠±1且a≠0时，原方程解为x= ；当a=0时，原方程无解，；当a= 时，原方程的解为x≠ 的任意数．
三、列分式方程解应用题
【例6】 某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯行驶，两人也走梯)．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．
（1）扶梯露在外面的部分有多少级?
(2)现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与 自动扶梯的级数相等，两个孩子各自到扶梯顶部后按原 速度再下楼梯 ，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯间的距离)．求男孩第一次迫上女孩时走了多少级台阶?
解析 题中有两个等量关系，男孩走27级的时间等于扶梯走了S－27级的时间；女孩走18级的时间等于扶梯走S―18级的时间．
解 (1)设女孩上梯速度为x级／分，自动扶梯的速度为y级／分，扶梯露在外面的部分有S级，则男孩上梯的速度为2x级／分，且有
解得 S=54．
所以扶梯露在外面的部分有54级．
(2)设男孩第一次追上女孩时走过自动扶梯rn遍，走过楼梯n遍，则女孩走过自动扶梯(m―1)遍、走过楼梯(n―1)遍．
由于两人所走的时间相等，所以有 ．
由(1)中可求得y=2x,代人上面方程 化简得6n+m=16．
无论男孩第一次追上女孩是在自动扶梯还是在下楼时，m、n中都一定有一个是正整数，且0≤m―n≤1．
试验知只有 m=3，n= 符合要求．
所以男孩第一次追上女孩时走的级数为3×27+ ×54=198(级)．
注 本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题．
【例7】 (江苏省初中数学竞赛C卷)编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A和B中．15号弹珠在篮子A中，把这个弹珠从篮子A移至篮子B中，这时篮子A中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加 ，篮子B中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加 ．问原来在篮子A中有多少个弹珠?
解析 本题涉及A中原有弹珠，A、B中号码数的平均数，故引入三个未知数．
解 设原来篮子A中有弹珠x个，则篮子B中有弹珠(25－x)个．又记原来A中弹珠号码数的平均数为a，B中弹珠号码数的平均数为b．则由题意得
解得x=9，即原来篮子A中有9个弹珠．
学力训练
（A级）
1．解分式方程 ．
2．若关于x的方程 有增根x=1，求k的值．
3．解分式方程 ．
4．解方程组 ．
5．丙、丁三管齐开，15分钟可注满全池；甲、丁两管齐开，20分钟注满全池．如果四管齐开，需要多少时间可以注满全池？
（B级）
1．关于x的方程 有唯一的解，字母已知数应具备的条件是( )
A． a≠b B．c≠d C．c+d≠0 D．bc+ad≠0
2．某队伍长6km，以每小时5 km的速度行进，通信员骑马从队头到队尾送信，到 队尾后退返回队头，共用了0.5 h，则通信员骑马的速度为每小时 km．
3．某项工作，甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的m倍，乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的n倍，丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的k倍，则 = ．
4．m为何值时，关于x、y的方程组： 的解，满足 ， ？
5．(天津市中考题)某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂 家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的 ，厂家需付甲、丙两队共5500元．
(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?
(2)若工期要求不超过15天完成全部工程，问：由哪队单独完成此项 工程花钱最少?请说明理由．
6．甲、乙二人两次同时在同一粮店购买粮食(假设两次购买的单价不同)，甲每次购买粮食100kg，乙每次购买粮食用去100元．设甲、乙两人第一次购买粮食的单价为x元／kg，第二次单价为y元／kg．
(1)用含x、y的代数式表示甲两次购买粮食共需付款 元，乙两次共购买 kg粮食．若甲两次购买粮食的平均单价为每千克Ql元，乙两次购粮的平均单价为每千克Q2元则Q1= ；Q2= ．
《分式方程》教学设计 7
教学目标
（一）教学知识点
1、用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题。
2、用分式方程来解决现实情境中的问题。
（二）能力训练要求
1、经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力。
2、认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型。
（三）情感与价值观要求
1、经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣。
2、培养学生的创新精神，从中获得成功的体验。
教学重点
1、审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型。
2、根据实际意义检验解的合理性。
教学难点
寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的.解决问题的方法。
教具准备
实物投影仪
投影片三张
第一张：做一做，（记作3、4、3 A）
第二张：例3，（记作3、4、3 B）
第三张：随堂练习，（记作3、4、3 C）
教学过程
Ⅰ、提出问题，引入新课
[师]前两节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程。
接下来，我们就用分式方程解决生活中实际问题。
Ⅱ、讲授新课
出示投影片（3、4、3 A）
做一做
某单位将沿街的一部分房屋出租。每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9。6万元，第二年为10。2万元。
（1）你能找出这一情境的等量关系吗？
（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？
[师]现在我们一块来寻求这一情境中的等量关系。
《分式方程》教学设计 8
一，内容综述：
1、解分式方程的基本思想
在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程"转化"为整式方程。即
分式方程整式方程
2、解分式方程的基本方法
（1）去分母法
去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程。但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。
产生增根的原因：
当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理（方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解），这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解。
检验根的方法：
将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。
为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。必须舍去。
注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公
分母为0。
用去分母法解分式方程的一般步骤：
（i）去分母，将分式方程转化为整式方程；
（ii）解所得的整式方程；
（iii）验根做答
（2）换元法
为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决。辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的'未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法。换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程。
用换元法解分式方程的一般步骤：
（i）设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；
（ii）解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；
（iii）把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；
（iv）检验做答。
注意：
（1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。
（2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。
（3）无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。
《分式方程》教学设计 9
学习目标
1、进一步熟悉分式方程的解法；
2、会列分式方程解决实际问题。
学习重点
实际生活中相关工程问题类的分式方程应用题的分析应用.
学习难点
将实际问题中的等量关系用分式方程来表示并且求得结果.
学习过程
一、知识链接：
1、解方程
（1）（2）
2、八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度。
（1）此题中所包含的相等关系是：
①____________________________________________________;
②_____________________________________________________
（2）若设骑车同学的速度为x千米/时，则汽车所用的时间为________________小时，骑车同学所用的时间为______________________小时。
（3）列出方程，并解答.
二、探究新知
例1两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？
练习：甲，乙做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等。求甲，乙每小时各做多少个？
例2某次列车平均提速 vkm/h.用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度为多少？
练习：甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达目的地.求甲、乙的速度。
三、巩固练习：
1、某化肥厂原计划每天生产化肥x吨，由于采取了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么适合x的方程是（）.
2、部分学生自行组织春游，预计费用120元，后来又有2名学生参加，总费用不变，这样每人可少交3元，若设原来这部分学生的'人数是x人，则可列方程为.
3、某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路．实际施工时，每月的工效比原计划提高了20%，结果提前5个月完成这一工程．求原计划完成这一工程的时间是多少月？
4、我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书，经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等，今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用10000元再购进一批文学书和科普书，问购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书？
5、某工厂加工某种产品，机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件，若加工1800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的倍，求手工每小时加工产品的数量.
四、课后反思：
《分式方程》教学设计 10
教学目标
1、知识与技能
能应用所学的函数知识解决现实生活中的问题，会建构函数“模型”。
2、过程与方法
经历探索一次函数的应用问题，发展抽象思维。
3、情感、态度与价值观
培养变量与对应的思想，形成良好的函数观点，体会一次函数的'应用价值。
重、难点与关键
1、重点：一次函数的应用。
2、难点：一次函数的应用。
3、关键：从数形结合分析思路入手，提升应用思维。
教学方法
采用“讲练结合”的教学方法，让学生逐步地熟悉一次函数的应用。
教学过程
一、范例点击，应用所学
例5、小芳以200米/分的速度起跑后，先匀加速跑5分，每分提高速度20米/分，又匀速跑10分，试写出这段时间里她的跑步速度y（单位：米/分）随跑步时间x（单位：分）变化的函数关系式，并画出函数图象。
y=
例6、A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡。从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，怎样调运总运费最少？
解：设总运费为y元，A城往运C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为（200—x）吨。B城运往C、D乡的肥料量分别为（240—x）吨与（60+x）吨。y与x的关系式为：y=20x+25（200—x）+15（240—x）+24（60+x），即y=4x+10040（0≤x≤200）。
由图象可看出：当x=0时，y有最小值10040，因此，从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，总运费最小值为10040元。
拓展：若A城有肥料300吨，B城有肥料200吨，其他条件不变，又应怎样调运？
二、随堂练习，巩固深化
课本P119练习。
三、课堂总结，发展潜能
由学生自我评价本节课的表现。
四、布置作业，专题突破
课本P120习题14.2第9，10，11题。
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